Taxas de variação

Fazer o estudo de duas grandezas que se relacionam pode ser útil para um biólogo, como pode ser visto em "O conceito de função". Em várias ocasiões é importante compreender as diversas formas que ocorrem a variação de uma grandeza em função de outra. Por exemplo, o tópico "Cultura de bactérias" trata de um experimento para compreender os efeitos de uma toxina sobre uma cultura de bactérias. Neste caso, o número populacional está em função do tempo transcorrido após a introdução da toxina. Como o objetivo é compreender o comportamento da população após a introdução da toxina, torna-se imprescindível compreender os momentos em que o crescimento e o decrescimento foram mais ou menos acentuados, quando a população atinge seu máximo e mínimo, etc. Fazer um estudo desta natureza é exatamente o objetivo deste tópico.

Um primeiro índice que nos fornece um esboço do estudo das variações citadas acima é a taxa média de variação. O primeiro exemplo de taxa média de variação que conhecemos é a velocidade média. Vejamos um exemplo com mais detalhes. 

Digamos que uma viagem de Rio Claro a Picinguaba tenha sido realizada em 5 horas e meia (5,5 horas). Sabendo que a distância entre a origem e o destino é de 410 Km, podemos fazer uma média da velocidade com que o trajeto foi realizado. Para tanto, basta utilizarmos a fórmula , muito utilizada no ensino médio. Na fórmula, ∆s representa a distância percorrida (espaço) e ∆t o tempo gasto para percorrer o trajeto. Sendo assim, 

Este número nos fornece informações interessantes, porém insuficiente para sabermos detalhes da viagem. A única conclusão possível é que a média de todo o percurso foi de 74,54 Km/h, mesmo com as paradas, pedágios e oscilações na velocidade ao longo do trajeto. Isto significa dizer que o mesmo trajeto poderia ser realizado no mesmo tempo se fosse mantida uma velocidade constante de 74,54 Km/h, o que na prática é impossível. A velocidade média não nos oferece informações sobre o que ocorreu ao longo do trajeto. 

Agora, vejamos mais de perto o experimento com a cultura de bactérias. O gráfico abaixo representa a relação entre a população de bactérias e o tempo passado da introdução da toxina. Explore o gráfico abaixo e compreenda a relação entre as grandezas envolvidas.  

Marque, no gráfico acima, a caixa “Taxa de Variação” e desmarque a caixa "Legendas" para não sobrecarregar a imagem. Mantendo t = 0 e ∆t = 2 obtemos o número 2 (Milhões de bactérias/hora) para a taxa de variação média entre t = 0 e t+∆t = 2. Isto significa que nas duas primeiras horas do experimento houve um crescimento médio populacional da ordem de 2 milhões de bactérias. Note que o valor da taxa de variação média está relacionada à reta secante ao gráfico nos pontos (0,8) e (2,12). Mais precisamente, o valor da taxa de variação média é o primeiro coeficiente da equação desta reta, y = 2x + 8. Somente olhando para  este número não saberíamos dizer se a população apresentou apenas crescimento nesse período ou ainda se em alguns momentos o crescimento foi mais acentuado do que outros. Quer dizer, entre todas as variações, incluindo momentos de crescimento e decrescimento, a população apresentou um aumento médio de 2 milhões de bactérias por hora. Acumulando, assim, ao final da segunda hora um aumento populacional de 4 milhões de bactérias. A taxa de variação média não nos oferece detalhes sobre o que o ocorreu com a população ao longo das duas primeiras horas. Sabemos que a população atingiu seu valor máximo, que houve momentos de crescimento e decrescimento populacional porque podemos observar no gráfico. 

Olhando novamente o exemplo da viagem a Picinguaba, vamos observar o que ocorre em um momento específico da viagem. Digamos que exatamente uma hora após o início da viagem o velocímetro do carro acusa a velocidade de 123 Km/h. Podemos afirmar que na próxima hora de viagem será percorrido um trajeto de 123 Km? A resposta é não! Então o que nos diz este valor? 123 Km/h é uma projeção! Ele nos diz que se a velocidade for mantida constante em 123 Km/h serão percorridos 123 Km na próxima hora da viagem. Isto é, a velocidade instantânea nos dá informações pontuais, diferente da velocidade média. Seguramente não conseguimos manter a velocidade constante por uma hora, mas sabemos que já ultrapassamos a velocidade máxima da pista e podemos estimar o horário de chegada computando a velocidade atual, os momentos de menor velocidade e paradas que estão por vir, por exemplo. 

Como já foi dito anteriormente a velocidade média é um exemplo de taxa de variação média. Assim como a velocidade instantânea é um exemplo de taxa de variação instantânea. No caso da cultura de bactérias, o valor da taxa de variação em um determinado instante t pode ser pensada como sendo a velocidade instantânea de variação (crescimento, decrescimento ou nulo) da população em relação ao tempo. No gráfico acima, mantendo t = 0 e fazendo os valores de ∆t cada vez mais próximos de zero observamos que os valores de ΔP/Δt tendem a se aproximar de 6,8, verifique! Isto é, quando calculamos a taxa de variação média em intervalos cada vez menores e iniciando em t = 0, estes valores se aproximam de 6,8. Por esta razão dizemos que 6,8 Milhões de bactérias/hora é a taxa de variação instantânea em t = 0. Note que a taxa de variação instantânea em t = 0 está também associada a uma reta, mas desta vez a uma reta que tangencia o gráfico no ponto (0,8). Mais precisamente, o valor da taxa de variação instantânea é o primeiro coeficiente da equação desta reta, y = 6.8x + 8. Para saber mais sobre retas e coeficiente angular clique aqui. A taxa de variação instantânea é interpretada como uma previsão de variação (crescimento, decrescimento ou nulo) caso o número populacional tivesse uma variação linear (constante). Por exemplo, se a partir do momento inicial a população tivesse um crescimento constante, então após uma hora do início do experimento a cultura teria 6,8 milhões de bactérias a mais. Analogamente à velocidade instantânea, é como se um instrumento similar ao velocímetro marcasse 6.8 milhões de bactérias/hora para a taxa de crescimento da população no instante inicial t = 0. A taxa de variação instantânea da função P(t) em um instante t é também chamada de derivada da função P em t. O símbolo P'(t) é usualmente utilizado para se referir à derivada de P em t. Por exemplo, P' (0) é a taxa de variação instantânea em t = 0, ou a derivada de P em t = 0, ou ainda P'(0) = 6,8 (Milhões de bactérias/hora). 

Utilizando o gráfico acima encontre a taxa de variação média nas 6 primeiras horas e a taxa de variação instantânea em t = 6. Dê um significado aos números encontrados. Tente fazer um estudo mais detalhado sobre o crescimento e decrescimento da população destacando os momentos em que o crescimento e o decrescimento foi mais acentuado. Anote todas as suas conclusões! 
Para saber mais sobre derivadas clique aqui.