Função quadrática

A macieira é uma planta hospedeira da Mariposa Cydia pomonella. Esta Mariposa se camufla no interior da copa das árvores em busca dos locais mais escuros e, muitas vezes, deposita seus ovos nas folhas da macieira. A lagarta desta Mariposa é conhecida por bicho da maçã. O desenvolvimento do bicho da maçã até se tornar mariposa depende da temperatura do ar. Por exemplo, um experimento com a temperatura controlada (clique aqui para saber mais), mostrou que a porcentagem de ovos que eclodem (H), da referida mariposa, está em função da temperatura do ar (T) por meio da seguinte expressão. 

, desde que 15 ≤ T ≤ 30.

Isto é,  a expressão anterior descreve a forma como uma grandeza, a porcentagem de ovos que eclodem (H), está em função de outra, a temperatura do ar (t). Para saber a porcentagem de ovos eclodidos a uma determinada temperatura, 18 ºC, por exemplo, basta fazer T = 18 na expressão acima. Assim, o percentual é igual a  . Ou ainda, quase 80% dos ovos eclodem se a temperatura se mantiver em 18 ºC. A Figura 1 é uma representação gráfica da função H(T). 

Figura 1

A relação descrita por meio de H(T) é chamada de função e ela é válida desde que os valores de T não sejam menores do que 15 graus Celsius e nem maiores do que 30 graus Celsius. O intervalo no qual a expressão H(T) está definida, isto é, 15 ≤ T ≤ 30, é chamado de domínio da função H(T). Para saber mais sobre função e domínio clique aqui. A função H(T) é um tipo bem conhecido de função, as quadráticas. 

Uma função quadrática é uma função que pode ser escrita na forma , com a, b e c números reais e a diferente de zero (a ≠ 0). A última exigência faz sentido, pois, caso contrário, teríamos H(T) = bT + c. Desta forma, H deixaria de ser uma função quadrática e passaria a ser chamada de função afim. No caso da função que descreve a porcentagem de ovos que eclodem, os coeficientes a, b e c são respectivamente -0.63, 29 e -238.

Em geral, escrevemos f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, para nos referir a uma função quadrática. A notação se justifica, pois x é tradicionalmente uma letra utilizada para denotar uma variável e f(x) nos remete à função de x. A função f(x) pode ser representada graficamente no plano cartesiano e essa representação é chamada de gráfico da função.  Mais precisamente, o gráfico da função é conjunto de todos os pares ordenados do tipo (x,f(x)). Já sabemos de estudos anteriores que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Abra uma nova janela do Geogebra e faça o esboço aleatório de funções quadráticas tentando compreender os coeficientes a, b e c graficamente. Isto é, veja como estes coeficientes influenciam o gráfico da função. Anote todas as suas conclusões!

Em seguida, clique aqui para saber mais sobre o gráfico de uma função quadrática.