Uma função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é chamada de função quadrática. O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. Isso pode ser observado no Geogebra. Para isso basta digitar “f(x)=a*x^2+bx+c” na caixa de “Entrada” e teclar “Enter”. Quando perguntado se deseja criar controles deslizantes para a, b e c, responda que sim. O gráfico obtido pode ser modificado arrastando os pontos dos controles deslizantes. Note também que na “Janela de Visualização” é exibida a função para os coeficientes a, b e c selecionados nos respectivos controles deslizantes, Figura 1. Altere os valores de a, b e c e tente compreender como cada um dos coeficientes influencia na forma do gráfico. Anote todas as suas conclusões!
Figura 1
Antes de analisarmos os coeficientes, vamos estabelecer uma convenção. Vamos dizer que uma parábola tem a concavidade voltada para cima se existir um ponto do gráfico que está “abaixo” de todos os outros. E, ao contrário, vamos dizer que a parábola tem a concavidade voltada para baixo se existir um ponto do gráfico que está “acima” de todos os demais. Em ambos os casos, tal ponto é chamado de vértice da parábola, Figura 2.
Figura 2
Voltando nossas atenções aos coeficientes vemos que o coeficiente a, por exemplo, altera a concavidade, o vértice e a “abertura” da parábola. Primeiramente, analisaremos a concavidade e a “abertura”, visto que o vértice também é influenciado pelos coeficientes b e c.
Sobre a concavidade é fácil notar que se a > 0 então a concavidade é voltada pra cima e se a < 0 então a concavidade é voltada pra baixo. Note também que o coeficiente a influencia na “velocidade” (taxa) de crescimento e decrescimento da função. Isto é, se a for positivo e razoavelmente grande os trechos de crescimento e decrescimento do gráfico tendem a ficar mais acentuados, primeiro gráfico da Figura 3. Enquanto para a positivo e muito pequeno a curva sofre variações mais suaves, segundo gráfico da Figura 3.
Sobre a concavidade é fácil notar que se a > 0 então a concavidade é voltada pra cima e se a < 0 então a concavidade é voltada pra baixo. Note também que o coeficiente a influencia na “velocidade” (taxa) de crescimento e decrescimento da função. Isto é, se a for positivo e razoavelmente grande os trechos de crescimento e decrescimento do gráfico tendem a ficar mais acentuados, primeiro gráfico da Figura 3. Enquanto para a positivo e muito pequeno a curva sofre variações mais suaves, segundo gráfico da Figura 3.
Figura 3
Quando o a é negativo algo semelhante acontece. Verifique e escreva suas conclusões! Vale observar ainda que o ponto de interseção entre o eixo y e o gráfico se mantém o mesmo. Justifique este fato!
Já o coeficiente b não altera a concavidade e nem a “abertura” da parábola, mas provoca simultaneamente uma translação horizontal e vertical. O ponto de interseção do gráfico com o eixo y também se mantém o mesmo para diferentes valores do coeficiente b. Note que quando os valores de b variam o vértice parece descrever uma parábola com a concavidade oposta à parábola original e com o vértice sobre o eixo y, Figura 4. Para os propósitos pretendidos neste texto estas observações são suficientes, caso seja de seu interesse, ao final do texto em (*) é apresentada uma justificativa para tal fato.
Figura 4
O coeficiente c é um coeficiente independente, ele não está multiplicado por nenhuma potência de x. Por esta razão ele é o ponto de interseção entre a parábola e o eixo y, independentemente dos valores de a e b, pois x = 0 implica em f(x) = c. Isto é, o ponto (0,c) do eixo y é também um ponto da parábola. O coeficiente c não interfere na concavidade e nem na abertura, quando se altera o valor de c a parábola sofre apenas uma translação vertical. Verifique!
Em várias situações problemas encontrar o vértice de uma parábola pode ser a solução procurada. Veja por exemplo o tópico intitulado “O bicho da maçã”. O bicho da maçã é a lagarta da mariposa Cydia pomonella e um estudo sobre esta mariposa mostrou que a porcentagem de ovos que eclodem (H) está em função da temperatura do ar (T), Figura 5, por meio da seguinte expressão
, desde que 15 ≤ T ≤ 30.
Figura 5
Neste caso, a primeira coordenada do vértice do gráfico representa a temperatura ideal para a eclosão dos ovos da mariposa, o que ocorre quando a temperatura se mantém em aproximadamente 23ºC.
Voltando ao caso geral, f(x) = ax2 + bx + c, notamos que no vértice da parábola a reta tangente é paralela ao eixo x, Figura 6. Isto significa dizer que a inclinação ou o coeficiente angular desta reta e igual a zero. Como a inclinação da reta tangente é exatamente a derivada da função no ponto em questão, no nosso caso o xv, então f ' (xv) = 0. Como a parábola só possui um ponto onde isto ocorre, o vértice, podemos encontrar a coordenada xv resolvendo a equação f ' (x) = 0. A calculadora de derivadas pode nos ajudar a derivar a função f(x) = ax2 + bx + c. Em seguida, basta igualar o valor encontrado a zero e obter o valor de x que satisfaz a referida equação. O valor encontrado deve ser
Por exemplo, no caso da função quadrática definida por H(T) = - 0,63 T2 + 29T - 238 e discutida anteriormente, a coordenada x do vértice é
Isto é, a temperatura ideal para a eclosão dos ovos da mariposa é de aproximadamente 23ºC. Calculando H(23,02) obtemos a maior porcentagem de ovos eclodidos.
Em outras situações é importante conhecer os pontos de interseção do gráfico de uma função quadrática com o eixo x. É fácil ver que a interseção do gráfico, uma parábola, com o eixo x ocorre em um único ponto ou em dois pontos. Ou então não há interseção. A coordenada x de um tal ponto de interseção é chamada de raiz da função. Isto é, x0 é raiz de f(x) se f(x0) = 0. No caso da função quadrática as raízes podem ser obtidas pela Fórmula de Bhaskara (**). Esta fórmula pode ser obtida pelo site do WolframAlpha, basta digitar a equação que se deseja resolver, ax2 + bx + c = 0, e será exibida a primeira igualdade abaixo.
É fácil ver que uma parábola pode intersectar o eixo x em um ou dois pontos ou ainda não intersectar este eixo. Analisando a Fórmula de Bhaskara podemos ver os três casos olhando para o valor de ∆:
- Caso b2 - 4ac = 0 a raiz se reduz ao xv. Ou, o gráfico da função tem um único ponto de interseção com o eixo x.
- Caso b2 - 4ac > 0 a Fórmula de Bhaskara oferece duas raízes distintas. Ou, o gráfico da função tem dois pontos de interseção com o eixo x.
- Caso b2 - 4ac < 0 a Fórmula de Bhaskara não tem solução no conjunto dos números reais. Ou, o gráfico da função não tem interseção com o eixo x.
Arraste os gráficos do applet abaixo e confira.
(*) A parábola descrita pelo vértice é o gráfico da função yv em função de xv. Sabemos que
Faremos o seguinte, escreveremos b em função do xv. Deste modo obtemos
Ou ainda,
A partir desta última equação podemos ver que o gráfico descrito pelo vértice é de fato uma parábola com vértice sobre o eixo y e com a concavidade oposta a parábola original. E ainda, podemos ver que as duas parábolas apresentam o mesmo ponto de intersecção com o eixo y. Tente justificar este fato!
(**) Mostraremos aqui como obter a fórmula de Bhaskara uma vez conhecida a coordenada x do vértice.
Se a intersecção entre a parábola e o eixo x ocorre em um único ponto, então este ponto é o vértice e o xv é a raiz. Caso ocorra em dois pontos, digamos nos pontos de abscissa x1 e x2, podemos concluir que o xv é o ponto médio. Logo, 
, para algum número positivo h, Figura 7.
Figura 7
Sabendo que x1 e x2 são raízes, temos f(x1) = 0 e f(x2) = 0. Ou ainda, escrito de outra forma
Substituindo nas equações (I) e (II) obtemos,
Ou ainda,
Somando as duas equações anteriores, temos
Simplificando por 2, a equação anterior pode ser reescrita como
Isolando h, segue
Substituindo
Logo as raízes são:
Mais precisamente:
Analisando os casos ∆ > 0, ∆ < 0 e ∆ = 0, estendemos as expressões anteriores para todos os casos.
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