Cultura de bactérias

Imagine que você foi convidado a participar de uma pesquisa que tem por objetivo estudar os efeitos de uma determinada toxina em uma população de bactérias. Para realizar o estudo em questão algumas condições foram controladas. O experimento foi iniciado com a introdução da toxina de interesse em uma cultura cuja população foi estimada em 8 milhões de bactérias. Meia hora após a introdução da toxina a população foi estimada em 10,86 milhões. Uma hora após o início do experimento a população foi estimada em 12,33 milhões. Passadas três horas do início verificou-se um encolhimento na população, a estimativa nesse momento foi de 10,14 milhões de bactérias. Por meio de observações sistemáticas, estimando a população de bactérias em pequenos intervalos de tempo, verificou-se que t horas após a introdução da toxina a população era de aproximadamente  milhões de bactérias. O experimento teve uma duração de 2 dias, pois, passadas 48 horas do início, os dados já se mostravam suficientes para compreender o efeito causado pela toxina. A partir dos dados obtidos o coordenador da pesquisa desenvolveu um pequeno roteiro indicando caminhos a serem trilhados para melhor compreender os efeitos causados pela toxina e escreveu algumas de suas observações preliminares. O seu trabalho teve início com a construção do gráfico abaixo. Explore o gráfico criado por ele e faça um relatório de suas observações a partir do roteiro apresentado. Espera-se que cada um dos envolvidos dê sua particular contribuição. Tente ver o que o coordenador ainda não viu, faça sua parte!   


              Manipule o gráfico sempre que necessário!
    1. Entender as grandezas relacionadas no gráfico. (Se necessário veja o tópico "O conceito de função") 
    2. Fazer um estudo detalhado do crescimento e decrescimento populacional. 
    3. Marcando a caixa “Taxa de Variação” e mantendo t = 0 e ∆t = 2, obtemos o número 2 (Milhões de bactérias/hora) para a taxa de variação média nas duas primeiras horas (entre t = 0 e t+∆t = 2). Isto significa que nas duas primeiras horas do experimento houve um crescimento médio populacional da ordem de 2 milhões de bactérias. De modo semelhante podemos encontrar 4,33 Milhões de bactérias/hora para o valor da taxa média de variação na primeira hora (t=0 e t+∆t = 1), se desejar, oculte as legendas para não sobrecarregar a imagem. Encontrar a taxa de variação média nas 3 primeiras horas e explicitar o significado do número obtido.  (Sempre que necessário, selecione o controle deslizante e o manipule com as teclas ← e → para variações mais sutis). 
    4. Descobrir após quanto tempo do início do experimento a taxa de variação média foi igual a zero e explicar o significado deste fato.
    5. Tentar estimar o intervalo em que o decrescimento foi mais acentuado. 
    6. Fazendo ∆t = 0 a reta azul dá lugar a uma reta vermelha que tangencia o gráfico no ponto (t,P(t)). Simulando o passar do tempo (t) com o controle deslizante observamos que esta reta pode ser útil para localizar o instante em que a população atingiu o máximo e também o número máximo desta população. Descrever características desta reta, encontrar o instante em que a população foi máxima e estimar o número máximo de bactérias da cultura. (Se necessário  manipule t com as teclas ← e → para variações mais sutis). 
    7. Encontrar a taxa de variação média (decrescimento) nas 5 horas seguintes após a população atingir seu ápice e dar um significado ao valor encontrado. 
    8. Relacionar a reta tangente (∆t = 0) e sua equação com os momentos de crescimento e decrescimento populacional. 
    9. Mantendo t = 0 e fazendo os valores de ∆t cada vez mais próximos de zero observamos que os valores de ΔP/Δt tendem a se aproximar de 6,8. Isto é, quando calculamos a taxa de variação média, partindo do instante inicial (t = 0), em intervalos cada vez menores estes valores se aproximam de 6,8. Por esta razão dizemos que 6,8 Milhões de bactérias/hora é a taxa de variação instantânea em t = 0. Isto significa que no instante inicial a população está crescendo a uma taxa de 6,8 Milhões de bactérias/hora. A taxa de variação instantânea é interpretada como uma previsão de variação (crescimento, decrescimento ou nulo) caso o número populacional tivesse uma variação linear (constante). Por exemplo, se a partir do momento inicial a população tivesse um crescimento constante então após uma hora do início do experimento a cultura teria 6,8 milhões de bactérias a mais. Como a taxa de variação média na primeira hora foi 4,33 Milhões de bactérias/hora podemos concluir que nessa primeira hora tiveram momentos em que o crescimento foi mais acentuado do que outros, pois na prática verificou-se um crescimento de 4,33 milhões de bactérias no mesmo período. Encontrar a taxa de variação instantânea em t = 0,5 e em t = 4 e em seguida atribuir um significado aos valores encontrados. 
    10. Relacionar a taxas de variação média e instantânea com a reta azul (secante ao gráfico) e com a reta vermelha (tangente ao gráfico), respectivamente.
    11. Descrever o que se pode esperar da cultura de bactérias se o experimento não tivesse sido interrompido.
Para aprofundar a discussão sobre o experimento veja os tópicos "O conceito de função" e "Taxas de Variação".
    (*) Adaptado do problema 31, página 97, do livro: Cálculo: Um curso moderno e suas aplicações. 7a. Ed. Autores: Laurence D. Hoffmann e Gerald L. Bradley. 

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