Função Afim

Um produto de grande interesse industrial e originário das atividades metabólicas das bactérias Pseudomonas Aeruginosa é o ramnolipídio. Este produto tem se mostrado como uma alternativa biodegradável e de baixa toxidade na produção de detergente e sabão devido sua característica surfactante. Os surfactantes de origem microbiana, como os ramnolipídios, são classificados como biosurfactantes e são importantes alternativas aos sintéticos, em geral de origem petroquímica e altamente tóxicos. 

Por estas razões a produção de ramnolipídio tem sido foco de pesquisas. Tentando melhor compreender a produção desses biosurfactantes um grupo de alunos de Matemática Aplicada desenvolveu um trabalho sobre o tema. Inspirado neste trabalho vejamos um exemplo que trata da produção de ramnolipídio. O objetivo do exemplo relatado abaixo é o de extrair a maior produção de ramnolipídio de um cultivo de bactérias. 
Em uma cultura de bactérias Pseudomonas Aeruginosa foi observado que a concentração de ramnolipídios (g/L) apresentou, em um determinado intervalo de tempo, uma taxa de crescimento aproximadamente constante e estimada em 0,44 g/L por hora. Isto ocorreu a partir de 22 horas do início do cultivo até aproximadamente o início da fase estacionária da curva de crescimento logístico ou curva S, neste caso, estimada em 87 horas após o início do cultivo, Figura 1. Matematicamente, dizemos que a concentração de ramnolipídios apresentou um crescimento linear entre 22 e 87 horas. Estimou-se ainda que, passadas as primeiras 22 horas, a concentração de ramnolipídios era de 1,09 g/L. Observou-se ainda que após as 87 primeiras horas a concentração de ramnolipídios apresentou pequenas oscilações, demonstrando um quadro de estabilidade.

Figura 1

Claramente a concentração de ramnolipídios está em função do crescimento da cultura bacteriana e este, por sua vez, está em função do tempo de cultivo. Isto é, a concentração de ramnolipídios está também em função do tempo de cultivo. Como dissemos anteriormente esta função tem uma taxa de crescimento constante, estimada em 0,44 g/L por hora entre 22 e 87 horas. Uma função com tal característica é chamada de “função afim”. Na Tabela 1 relacionamos a concentração de ramnolipídios com o tempo transcorrido após o início do cultivo.

Tabela 1

Isto é, t horas após o início do cultivo, ou seja, t - 22 horas a mais do que as 22 primeiras, a concentração de ramnolipídios R(t), pode ser estimada por meio da seguinte expressão  

desde que 22 ≤ t ≤ 87. Com esta expressão fica fácil determinar a concentração de ramnolipídios a qualquer momento do cultivo, desde que dentro do intervalo estabelecido acima.  Por exemplo, a concentração máxima ocorre aproximadamente após 87 horas do início do cultivo e nesse momento a concentração pode ser calculada por meio da expressão (I) 

Isto é, sabendo a concentração de ramnolipídios em 22 horas após o início do experimento e conhecendo a forma que ocorre o crescimento dessa concentração podemos estimar a concentração máxima. Isto pode ser útil na tomada de decisões sobre a continuidade do experimento. Por exemplo, nas condições citadas acima, o cultivo não necessita ser prolongado por mais de 87 horas e ainda é possível estimar a produção de ramnolipídios ao final.      

Como já dissemos anteriormente a função definida na expressão (I) recebe o nome de função afim. Em geral, chamamos de função afim qualquer função que pode ser escrita na forma 

No caso da função R(t) utilizamos o t (tempo) em vez de x e R (ramnolipídios) em vez de f. Os coeficientes a e b são, respectivamente, 0,44 e - 8,59. Note que a taxa de crescimento da função R(t) coincide com o coeficiente a. Na verdade este fato é uma regra, a taxa de crescimento ou decrescimento de uma função afim é constante e coincide com o coeficiente a. Por esta razão dizemos que estas funções tem crescimento ou decrescimento linear e o gráfico de uma função deste tipo é uma reta, como pode ser visto no gráfico da função R(t), Figura 1. Substituindo f(x) por y em (II) obtemos y = ax + b. Esta última igualdade é uma equação de uma reta, você pode encontrar mais detalhes sobre esta equação e sobre retas nos tópicos "Retas" e "Gráficos de equações lineares". A janela abaixo exibe uma função linear, seu respectivo gráfico (em vermelho) e nos permite alterar os coeficientes da função para compreendermos melhor como eles estão representados no gráfico. Explore o applet e tente compreender como os coeficientes a e b influenciam o posicionamento da reta. Escreva todas suas conclusões! 

Resumindo, uma função afim é uma função que apresenta uma taxa de crescimento ou decrescimento linear. Vejamos, por exemplo, uma comparação entre o crescimento linear com o crescimento da função quadrática f(x) = x², Figura 2. Fica evidente que a função quadrática apresenta, no intervalo em que ela é crescente, uma taxa de crescimento variável, ao contrário da função afim. Aliás, podemos notar que a taxa de crescimento vai aumentando com o aumento do valor de x, isto é, a curva é mais acentuada em C do que em B e é mais acentuada em B do que em A. 

Figura 2

São raras as situações de interesse de um biólogo que podem ser estudadas por meio de um modelo linear. No entanto, estas funções servem de parâmetro para analisar qualquer tipo de função. Por exemplo, na função quadrática da Figura 2, exemplo anterior, se observarmos as retas que tangenciam o gráfico da parábola nos pontos A(1,1), B(2,4) e C(2,3), Figura 3, percebemos que a reta que contém o ponto B está mais inclinada do que reta que contém o ponto A e a outra reta está ainda mais inclinada que esta última. Quando comparamos estas retas com a parábola, percebemos que a reta tangente tende a ser mais inclinada nos pontos onde a função apresenta uma taxa de crescimento mais acentuada. Deste modo, as funções lineares são utilizadas como parâmetro no estudo de crescimento ou o decrescimento de funções, saiba mais em "Derivadas".

Figura 3