Alometria

Segundo o Dicionário Priberam da Língua Portuguesa alometria significa "crescimento ou desenvolvimento anormal ou desproporcional de um órgão ou de uma parte de um organismo em relação ao conjunto". Por exemplo, em um bebê com menos de 1 ano de idade não é possível juntar suas mãos acima da cabeça, isto porque a cabeça é muito grande se comparada ao tamanho do braço. Já em um adulto isto pode ser feito com grande facilidade, pois os braços são bem grandes se comparados ao tamanho da cabeça. Isto é, a cabeça e o braço (na verdade todo o corpo) crescem desproporcionalmente. 
Um bom exemplo de crescimento desproporcional na ecologia é a relação entre o número de indivíduos de uma espécie e uma determinada área de amostra. Nesta relação, conhecida por curva espécie-área, o número de indivíduos de uma determinada espécie cresce desproporcionalmente se comparado com o aumento da área amostrada, veja mais detalhes em "Curva espécie-área".
Não por acaso, a mesma função que nos ajuda a estudar a relação espécie-área também nos ajuda nos estudos de alometria. Isto é, uma função do tipo 
y = k x a          (i)
em que k e a são constantes positivas. A função que descreve a relação entre y e x por meio da equação (i) é chamada de função potência e o coeficiente a é chamado de coeficiente alométrico. Por exemplo, a função 
y = 3.19 x 0.29
descreve, aproximadamente, o perímetro (y) da cabeça de um bebê em função de seu peso (x). Veja mais detalhes no gráfico da Figura 1. Os pontos em destaque foram baseados em algumas medidas exatas feitas em um bebê ao longo de seu primeiro ano de vida.

Figura 1
   
O coeficiente alométrico é determinante em uma relação alométrica, pois é ele que estabelece a não proporcionalidade entre as duas grandezas. Explore o applet abaixo e tente observar como os coeficientes k e a influenciam na curva alométrica. Anote todas as suas conclusões!






Quando o coeficiente alométrico é menor do que 1 (e maior que zero, por definição) dizemos que ocorre uma hipoalometria (ou alometria negativa), pois o crescimento de y será menor se comparado ao crescimento de x. Na Figura 1, por exemplo, vemos que o crescimento da cabeça é menor se comparado ao peso do bebê, isto é, o gráfico é crescente mas a taxa de crescimento diminui na medida que o bebê cresce. 
Caso o coeficiente alométrico seja 1, então y e x são grandezas proporcionais e a razão de proporção é k:


Isto significa que um crescimento na grandeza x implica em um crescimento k vezes maior na grandeza y. O gráfico da função potência neste caso se resume a uma função linear de coeficiente angular k. Quando isto ocorre, a = 1, dizemos que y e x são grandezas isométricas.   
No último caso, a > 1, dizemos que ocorre uma heperalometria (ou alometria positiva). A grandeza y apresenta crescimento maior se comparado com a grandeza x. Por exemplo, o tamanho da quela (y) do caranguejo Chama-maré macho apresenta um crescimento superior se comparado ao tamanho do corpo (x), Figura 2**. Isto significa que nesta relação o coeficiente alométrico a é maior que 1. O que podemos afirmar sobre as taxas de crescimento em uma relação hiperalométrica? 
   
Um mecanismo muito utilizado por biólogos e ecólogos para estudar função potência, mais do que os próprios matemáticos, é a utilização da escala logarítmica. Isto é, a partir da relação funcional entre y e x obter outra relação funcional entre o log (y) e o log (x). Por exemplo, se y = k x a, então log (y) = log (k x a), ou ainda, utilizando as propriedades de logaritmos,  
log (y) = log (k) + a log (x) . 
(O termo log significa log 10 .Caso seja necessário clique aqui e relembre um pouco de logaritmos)
A última equação nos fornece, portanto, outra função que faz corresponder as variáveis log (y) e log (x). Se chamarmos, respectivamente, de Y e X estas duas variáveis, Y = log (y) e X = log (x), podemos escrever 
Y = log (k) + aX. 
Note que log (k) nada mais é que uma constante. Isto é, fazendo b = log (k) a última equação pode ser reescrita da seguinte forma 
Y = b + aX.
Deste modo, fica evidente que esta equação se trata de uma equação linear (seu gráfico é uma reta) e o coeficiente alométrico é o coeficiente angular desta reta. Aqui torna-se evidente também o motivo de realizar tal operação: transformar uma curva, gráfico da função potência, em uma reta, gráfico do log da função potência. 
Quando visualizamos a relação alométrica por meio desta reta dizemos que estamos utilizando a escala logarítmica (ou eixos log-log). Por exemplo, a relação alométrica da Figura 1, colocada nos eixos log-log nos fornece a seguinte reta, Figura 3. O coeficiente angular desta reta é o coeficiente alométrico e cada ponto em destaque é o logaritmo das coordenadas dos pontos destacados no gráfico da Figura 1. 


Figura 3
Explore o applet abaixo e compare a escala cartesiana com a escala logarítmica. Tente observar graficamente os casos de hipoalometria, isometria e hiperalometria. Veja também como a relação alométrica é transformada em uma equação linear e ainda a representação de um ponto nas duas escalas. Anote suas dúvidas e conclusões! 


Obter o gráfico em escala logarítmica é tão útil quanto obter o gráfico da função potência de uma relação alométrica. Uma das opções pela escala logarítmica é a facilidade em obter uma reta que se ajuste a uma coleção de pontos dados. Isto pode ser feito por meio de regressão linear. Foge ao escopo deste curso aprofundar o debate em regressão linear, no entanto faremos uso dela, por meio do software Geogebra, para obter uma tal reta. O vídeo abaixo nos mostra como isto pode ser feito. 
O gráfico apresentado na janela de "Análise de Dados" pode facilmente ser copiado para a "Janela de Visualização" do Geogebra, basta clicar com o botão direto sobre a primeira janela e escolher "Copiar para Janela de Visualização". Seguindo um procedimento análogo ao apresentado no vídeo, porém escolhendo a opção "Potência" para o "Modelo de regressão" nos é apresentada uma função potência que se ajusta a uma coleção de pontos dados. Isto é, o Geogebra pode ser muito útil no estudo de relações alométricas, seja para obter sua reta em escala logarítmica ou para obter sua função potência, escala cartesiana. Vale ressaltar ainda que, nas relações alométricas, o conjunto de pontos que pode ser aproximado por uma reta, é diferente do conjunto de pontos que pode se aproximado por uma função potência.
O artigo "ALOMETRIA DAS QUELAS EM MACHOS E FÊMAS DO CARANGUEJO CHAMA-MARÉ UCA SP. (CRUSTACEA: BRACHYURA)" traz uma interessante discussão sobre o tema de nosso estudo. Os exemplos seguintes foram inspirados no artigo citado.        
Outro exemplo de escala logarítmica pode ser visto mais abaixo na Figura 4. O gráfico em vermelho mostra a relação alométrica, em log-log, entre o comprimento da quela (y) e o comprimento do corpo (x) de um caranguejo Chama-maré macho. O outro segmento de reta (em preto), mostra, a título de comparação, a reta isométrica. Isto é, caso o corpo e a quela apresentassem crescimento proporcional. Comparando os dois segmentos fica evidente que se trata de um caso de hiperalometria. Tente construir uma justificativa para esta afirmação.


Para finalizar nossa discussão sobre alometria apresentamos nas tabelas abaixo a relação entre o tamanho da carapaça do caranguejo Chama-maré, macho e fêmea, e o tamanho de sua quela.  No caso do macho, Tabela 1, já vimos graficamente em outra ocasião, Figura 4, que se trata de uma hiperalometria, tente determinar qual é o coeficiente alométrico? No caso da fêmea, Tabela 2, aparentemente não ocorre uma hiperalometria. Mas seria esse um caso de hipoalometria ou isometria? Determine o coeficiente alométrico. Nos dois casos, esboce, na escala cartesiana e em log-log, os gráficos das relações alométricas em questão. 


 
(**) "Fiddler crab" by Original uploader was Hadal at en.wikipedia - Licensed under Public domain via Wikimedia Commons -http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fiddler_crab.jpg#mediaviewer/File:Fiddler_crab.jpg 

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