Derivadas

As retas desempenham um importante papel no estudo de duas grandezas que se relacionam. Elas ajudam, por exemplo, a analisar as taxas ("velocidades") de variação média e instantânea de uma grandeza em função de outra, como pode ser visto no tópico "Taxas de Variação". O gráfico (curva) em preto da Figura 1 descreve a variação populacional de uma cultura de bactérias em função do tempo transcorrido após a introdução de uma determinada toxina. O gráfico da Figura 1 foi construído a partir de um experimento cujo objetivo era compreender a reação das bactérias à toxina introduzida. Sabemos, a partir do experimento realizado, que t horas após a introdução da toxina a população foi estimada em 

onde t é medido em horas e P em milhões de bactérias. A razão entre a variação populacional (∆P) durante as 2 primeiras horas (tempo, ∆t) nos fornece um número chamado de taxa de variação média das duas primeiras horas, Figura 1. Isto é,

  ^{Milhões de bactérias/hora.}

Figura 1

Isto significa que nas duas primeiras horas do experimento houve um crescimento médio populacional da ordem de 2 milhões de bactérias. Note que a taxa de variação média calculada anteriormente coincide com a tangente do ângulo α dos dois triângulos delimitados pela reta azul e o seu cálculo poderia ser feito também pela razão entre o comprimento do cateto oposto do triângulo menor, 2, e o comprimento do cateto adjacente deste mesmo triângulo, 1. Isto ocorre pois os dois triângulos em questão são semelhantes. A tangente do ângulo α é também chamada de inclinação ou coeficiente angular da reta (azul). Para saber mais sobre retas e coeficiente angular clique aqui. Tudo isso nos mostra como as retas podem ser úteis no estudo de duas grandezas que estão relacionadas. A reta azul é chamada de reta secante ao gráfico da função P nos pontos (0,8) e (2,12).

           Quando calculamos a taxa de variação média, partindo do instante inicial (t = 0), em intervalos cada vez menores, estes valores se aproximam de 6.8. Por esta razão dizemos que 6.8 Milhões de bactérias/hora é a taxa de variação instantânea em        t = 0. Isto significa que no instante inicial a população está crescendo a uma taxa de 6.8 Milhões de bactérias/hora. O valor de 6.8 corresponde exatamente ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto (0,8), Figura 2. Isto é, a tangente do ângulo β do triângulo da Figura 2. O que corresponde ao comprimento do cateto oposto deste triângulo, já que o cateto adjacente tem comprimento 1. Veja mais em "Taxas de Variação".   

Figura 2

 

De modo geral, dada uma relação funcional y = f(x), a taxa de variação média da variável y entre x e x+∆x é o coeficiente angular (a = ^Δy/_Δx) da reta secante ao gráfico de f nos pontos (x,f(x)) e (x+∆x, f(x+∆x)), Figura 3. 

Figura 3

A taxa de variação instantânea de y em um instante x pode ser estimada de modo semelhante àquela realizada para a função P em t = 0. Isto é, olhando para o valor "limite" das taxas de variação média em pequenos intervalos em torno de x. Mais precisamente, o valor "limite" para a taxa de variação média de y para pequenos valores de ∆x (∆x tendendo a zero) é o que chamamos de taxa de variação instantânea de y no instante x. Em geral, utiliza-se a notação seguinte para designar este valor "limite" da taxa de variação média de y em torno de x para ∆x tendendo a zero (simbolicamente, ∆x → 0) 

(Leia: limite de delta y sobre delta x quando delta x tende a zero).

A taxa de variação instantânea de y em x é também chamada de derivada de f em x e é denotada por f'(x). Geometricamente, f '(x) corresponde ao coeficiente angular (m) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x,f(x)), pois quando  ∆x → 0 a reta secante ao gráfico de f se aproxima da reta tangente, como pode ser visto na animação abaixo. 

Resumindo a discussão acima e utilizando a notação para a derivada escrevemos 

Isto é, a derivada de f em x é numericamente igual ao coeficiente m da equação y = mx + k da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x,f(x)). Veja uma discussão similar a que fizemos acima aqui neste vídeo.    

(Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=mQSVKCmeAQE)

Para encontrar a derivada de uma função em um determinado x é necessário portanto encontrar o limite 

  

Por exemplo, se f(x) = x²  e desejamos encontrar a derivada de f em x = 2, procedemos da seguinte maneira. Inicialmente escrevemos:  

 

Sendo assim,   

Ora, é claro que 4+Δx aproxima de 4 quando Δx tende a zero. Portanto, f '(2) = 4.

O procedimento realizado acima pode se tornar muito trabalhoso quando se toma uma função não tão elementar. Por esta razão vamos recorrer a outros recursos para a realização de cálculos como o realizado anteriormente. O Geogebra pode nos ajudar com isto. Para encontrar a derivada de uma função y = f(x) em um  x qualquer basta digitar a expressão algébrica que define a função f no campo de “Entrada” e teclar “Enter”, por exemplo, f(x) = x². Fazendo isto, será exibido o gráfico da função f. Agora para obter a derivada desta função em um ponto qualquer do domínio, em x = 2, por exemplo, digite f '(2) no campo de "Entrada",  teclar "Enter" e será exibido na "Janela de Álgebra" o valor procurado. Com o Geogebra podemos facilmente obter, por exemplo, os dados mostrados na Tabela 1. Verifique alguns.  

Tabela 1

Como podemos observar na Tabela 1,  a relação entre t e P'(t) também define uma função, chamada de função derivada. Com o auxílio do Geogebra podemos obter a expressão geral para esta função e ainda visualizá-la graficamente. Para tanto, basta digitar a expressão da função P no campo de "Entrada", P(t) = (34t+40)/(t^2+5), e teclar "Enter" para obter o gráfico desta função. Em seguida, para obter a derivada, digite “derivada” no campo de “Entrada” e aparecerá uma lista de opções com a palavra derivada. Escolhendo a opção “Derivada [<Função>]” substitua o termo “<Função>” por “P” (nome da função definida anteriormente) e tecle “Enter”. Desta forma será exibida na "Janela de Álgebra" a expressão para a derivada de P em um instante t qualquer e na "Janela de Visualização" será exibido o gráfico da função derivada (P'). Para encontrar a derivada em um ponto específico do domínio, por exemplo t = 3, basta digitar P'(3).   

A derivada de qualquer função também pode ser facilmente obtida com a calculadora abaixo desenvolvida no site WolframAlpha. Para tanto, basta digitar a função, usando sintaxe semelhante àquela utilizada no Geogebra, que será calculada a função derivada e ainda a mesma será apresentada, quando possível, em até três formas diferentes de escrita.

Como já vimos anteriormente a derivada f '(x) corresponde geometricamente à inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas (x,f (x)). Explore o applet tente compreender os conceitos de derivada, reta tangente e inclinação. Anote todas as suas dúvidas!

Comparando os dois gráficos do applet acima fica fácil observar que quando a função é crescente a inclinação da reta tangente é positiva e quando a função é decrescente a inclinação da reta tangente é negativa. A inclinação é zero, a reta tangente é paralela ao eixo x, no momento em que a população atingiu seu ápice. 
De modo geral, dada uma função y = f(x) cujo gráfico seja o esboçado na Figura 4. 

Figura 4

Sendo assim, vale o seguinte. 

• A derivada f '(x) é positiva nos intervalos em que f é crescente; 
• f '(x) é negativa nos intervalos em que f é decrescente; e
• f '(x) é zero nos picos ou vales.  

Os "picos" e "vales" são chamados, respectivamente, de máximo local e mínimo local. Isto é, se o máximo local ou o minimo local de uma função ocorre em um determinado ponto (x₀,f(x₀)) do gráfico, então a reta tangente ao gráfico neste ponto é paralela ao eixo x. Em termos teóricos, isso significa dizer que esta reta tem inclinação zero ou que a derivada da função f é igual a zero em x₀, em termos simbólicos, f ’(x₀) = 0. Um ponto x₀ com a propriedade anterior é chamado de ponto crítico. Veja a animação abaixo para compreender melhor. 

O vídeo abaixo mostra uma comparação entre os gráficos de P e P'.    

Com o auxílio da calculadora abaixo podemos esboçar em uma única janela os gráficos da função e sua derivada. Utilize-a para realizar um estudo sobre crescimento e decrescimento da função f(x) = x³ - 3x² , comparando a função e sua derivada. Escolha outra(s) função(ões) e faça o mesmo! Anote todas as suas dúvidas!