O conceito de função

Função é o nome que se dá a um tipo particular de relação entre duas ou mais grandezas. Neste curso nos limitaremos ao estudo de relações entre duas grandezas. 
No dia-dia de um biólogo é fácil encontrar exemplos de funções. A poluição do ar nas cidades, por exemplo, está em função do número de carros em circulação, dentre outros fatores, é claro! A sobrevivência de um certo inseto está em função da temperatura. O número populacional em uma cultura de bactérias depende dos nutrientes disponíveis, dentre inúmeras outras situações. As relações entre as grandezas citadas são também chamadas de relações funcionais. Tente listar algumas outras relações entre duas grandezas... 

Para compreendermos melhor o conceito de função tomaremos como exemplo um experimento em uma cultura de bactérias, para saber mais informações sobre o experimento e explorar os dados obtidos clique aqui. O experimento em questão ocorreu em um laboratório e tinha por objetivo compreender a reação de um cultivo de bactérias a uma determinada toxina. Neste sentido, foi então introduzida a toxina em uma cultura de bactérias cuja população, no momento de introdução da toxina, era estimada em 8 milhões. No desenvolvimento do experimento estimou-se que t horas após a introdução da toxina a população era de . A Tabela 1 sintetiza alguns dos dados obtidos com o experimento e destaca a relação de dependência existente entre o tempo (t) transcorrido após a introdução da toxina e a população (P) thoras após a introdução desta toxina. Vale destacar ainda que o experimento teve duração de 48 horas, pois este período foi suficiente para os propósitos do estudo desejado. 

Tabela 1

Como já destacamos acima, uma relação de dependência como esta é chamada de Relação Funcional, ou simplesmente Função. Em geral, se utiliza uma notação similar a seguinte: 

 .
Pois desta forma explicita-se que t horas após a introdução da toxina a população correspondente é P(t).  Isto é, P(0) corresponde à população inicial (t = 0), P(1) corresponde à população uma hora após a introdução da toxina, e assim sucessivamente.

Na relação funcional citada acima a população P está em função do tempo (t) transcorrido após a introdução da toxina. Isto é, P é um valor que varia com a variação de t, por esta razão dizemos que P é uma variável dependente (do valor de t) e t é uma variável independente. Os possíveis valores para t são são aqueles que são maiores ou igual a zero e menores ou igual a 48. Pois, t representa o número de horas passadas após o início do experimento e este teve duração de 48 horas (simbolicamente escrevemos  t є [0,48]). O conjunto formado por todos os possíveis valores para a variável independente de uma função é chamado de domínio. Em nosso exemplo, o domínio da função P é o intervalo fechado [0,48]. Em geral, utiliza-se a notação y = f(x) para se referir a uma função que tem x como variável independente e y ou f(x) como variável dependente. O f utilizado na expressão acima explicita que y está em função de x. A rigor, uma relação entre duas grandezas é uma função quando cada valor da variável independente corresponde a um único valor da variável dependente, como é o caso da função P.
Uma função pode ser útil para melhor compreender uma situação. Uma relação funcional pode ser explicitada por meio de uma tabela que estabeleça a correspondência entre as grandezas envolvidas, como vimos na Tabela 1. Ou ainda, uma função pode ser explicitada por meio de uma expressão algébrica, como vimos na exemplo anterior. Em geral, procura-se, sempre que possível, estabelecer uma expressão algébrica para uma função, pois deste modo, muitas vezes, torna-se mais fácil compreender a relação entre as grandezas envolvidas. Outros exemplos de funções definidas algebricamente
  

Nas expressões anteriores para cada valor da variável independente, obtemos um valor para a variável dependente. No caso de funções definidas por expressões algébricas, o domínio será, por convenção, o maior subconjunto do conjunto dos números reais para o qual a expressão algébrica esteja bem definida. Mais precisamente, se a expressão algébrica puder ser computada para um determinado número, então este número pertence ao domínio da função. Por exemplo, a função g(x) acima pode ser computada se substituirmos o valor de x por qualquer número diferente de zero. Para x = 0 a expressão não faz sentido, pois não faz sentido a divisão por zero. Logo, o domínio da função g é o conjunto dos números reais exceto o zero,  . 

Além da expressão algébrica que define uma função, como as expressões anteriores e a expressão para P(t), podemos representar uma função graficamente. O gráfico de uma função f(x) é o conjunto formado por todos os pontos do plano cartesiano (pares ordenados) do tipo (x, f(x)). Em particular, o gráfico da função P é o conjunto de todos os pontos (t, P(t)) para todos os valores possíveis de t. Isto é, o conjunto dos pontos   para  t є [0,48]. Explore abaixo o gráfico da função P e tente compreender todos os elementos envolvidos. Anote suas conclusões!

Já destacamos anteriormente que os possíveis valores para t são aqueles maiores ou igual a zero e menores ou igual a 48. Porém, não nos atentamos ainda para os valores assumidos por P(t). Isto é, quais os valores assumidos por P(t) quando t є [0,48] ? Com auxílio do applet acima fica fácil identificar, os valores são todos aproximados, que o maior valor assumido por P(t) é de 12.59, em t = 1.3, e o menor valor assumido por P(t) ocorre em t = 48 e é igual a 0.72. Em síntese, P(t) є [0.72, 12.59] quando  t є [0,48] . O conjunto formado pelos valores possíveis da variável dependente é chamado de imagem da função. No exemplo, o intervalo [0.72, 12.59] é a imagem da função P.

No exemplo das bactérias é importante sabermos se a população de bactérias cresceu ou decresceu. Podemos verificar pelo gráfico acima que houve crescimento da população até aproximadamente 1.3 horas (1 hora e 18 minutos) após a introdução da toxina. A partir de então a população decresceu. Uma função é dita crescente em um determinado intervalo se o aumento da variável independente implicar no aumento da variável dependente, no exemplo anterior isto ocorre até que t não ultrapasse 1.3. Quando ocorre o inverso, o aumento da variável independente implica em redução da variável dependente, a função é dita decrescente no intervalo em que ocorre tal fato. No exemplo anterior, isto ocorre quando t ultrapassa 1.3. Simbolicamente, dada uma função y = f(x) dizemos que: 

• a função f é crescente se x₁ < x₂ implicar f(x₁) < f(x₂); e 
• a função f é decrescente se x₁ < x₂ implicar f(x₁) > f(x₂); Ver Figura 1. 

Figura 1  

      Os pontos onde a função passa de crescente para decrescente ou vice-versa são chamados de máximo local e mínimo local, respectivamente, Figura 1. Exemplificando a última discussão, a função P citada anteriormente é crescente no intervalo [0,1.3] e decrescente no intervalo [1.3,48], o ponto (1.3, 12.59) é um ponto de máximo local e em nenhum outro ponto a função muda novamente de decrescente para crescente.
      Em muitos casos necessitamos avançar para além de um simples estudo sobre crescimento e decrescimento de uma função. Em várias situações precisamos ainda avaliar qualitativamente o crescimento e o decrescimento. Por exemplo, identificar momentos em que o crescimento foi mais acentuado ou momentos em que ocorreu uma desaceleração no crescimento. Para saber mais sobre este assunto veja o tópico "Taxas de Variação". 
    Abaixo está disponível uma calculadora que permite obter o gráfico, o domínio, a imagem, a derivada, os máximos e mínimos e outras informações relevantes (podem ser apresentadas também informações não muito relevantes para este curso) de funções definidas por meio de uma expressão algébrica. Basta digitar a função e clicar em "OK".

     Utilize a calculadora disponível acima e estude o domínio, a imagem, o crescimento e o decrescimento de cada uma das funções. Anote suas conclusões!  

Veja a Tabela 2 para referências de como digitar as funções desejadas.  

Tabela 2

     O Geogebra também nos oferece opções similares àquelas oferecidas pela calculadora anterior. Com ele podemos obter facilmente o gráfico de qualquer função dada por uma expressão algébrica. Vejamos, por exemplo, como obter o gráfico da função P. Para tanto basta digitar a expressão P(t)=(34t+40)/(t^2+5) no campo de “Entrada” (localizado na parte inferior da tela de visualização) e teclar “Enter”. Para aumentar ou diminuir o zoom, para melhor visualizar o gráfico, basta pressionar ctrl + ou ctrl -, respectivamente (ou ainda de outras formas particulares). Ainda para melhor visualização podemos alterar o zoom ou colocar os eixos em escalas distintas (também com o botão direito do mouse ou de outra forma particular). Se necessário podemos deslocar a origem do sistema de coordenadas, para isso, basta clicar na janela de visualização e utilizar as teclas ←, ↑, → e ↓. Agora, faça um estudo comparativo entre o gráfico que você obteve e o gráfico de P reproduzido no início desta página. Destaque as diferenças existentes entre eles? O que podemos dizer sobre o domínio e a imagem quando comparamos os dois gráficos? Os gráficos representam a mesma variação da população de bactérias? Anote suas conclusões! 
      Alguns tipos particulares de funções podem ser encontradas em "Função afim", "Função quadrática", "Alometria", "Curvas espécie-área" e "Dinâmica populacional".