Retas

Como pode ser visto em "Derivadas" as retas desempenham um importante papel no estudo de duas grandezas que se relacionam. Elas ajudam, por exemplo, a analisar a “velocidade” de crescimento ou decrescimento de uma grandeza em função de outra. No caso da “Cultura de bactérias”, como veremos resumidamente abaixo, podemos observar como os valores de interesse para analisar a variação da população de bactérias estão relacionados com algumas retas específicas. 

Na Figura 1, o gráfico (curva) em preto descreve a variação populacional de uma cultura de bactérias em função do tempo transcorrido após a introdução de uma determinada toxina. O gráfico da Figura 1 foi construído a partir de um experimento cujo objetivo era compreender a reação das bactérias à toxina introduzida. Sabemos, a partir do experimento realizado, que t horas após a introdução da toxina a população foi estimada em 

onde t é medido em horas e P em milhões de bactérias. A razão entre a variação populacional (∆P) durante as 2 primeiras horas (∆t) nos fornece um número chamado de taxa de variação média das duas primeiras horas, Figura 1. Para saber mais veja o tópico "Taxas de Variação". 

  ^{Milhões de bactérias/hora.}      

Figura 1

Note que a taxa de variação média calculada anteriormente coincide com a tangente do ângulo α dos dois triângulos delimitados pela reta azul. A tangente do ângulo α é também chamada de inclinação ou coeficiente angular da reta (azul). Tudo isso nos mostra que as retas podem ser muito úteis no estudo de duas grandezas que estão relacionadas por uma função.   

A reta azul é chamada de reta secante ao gráfico da função Pnos pontos (0,8) e (2,12). Como já sabemos da geometria (euclidiana), a reta azul é a única reta que contém estes dois pontos simultaneamente. Sabendo disso, podemos estabelecer uma relação (equação) entre as coordenadas de um ponto qualquer desta reta. Para tanto, vamos tomar um ponto A(x,y) genérico que pertença a esta reta, como na Figura 2. 

Figura 2

O ponto A determina um novo triângulo, o maior. Olhando para este triângulo podemos calcular a inclinação da reta azul 

Como o valor da tangente de α já é conhecido, , podemos escrever

A última relação estabelecida em (I) é o que chamamos de equação reduzida da reta. 

Em geral, conhecendo dois pontos de uma reta podemos obter uma equação desta reta usando um raciocínio análogo ao que foi utilizado para escrever uma equação da reta azul. Explore o applet abaixo e veja como seria no caso geral. O que muda com possíveis posições do ponto P? Justifique! 

Com o auxílio do applet acima podemos ver que uma reta que contém os pontos A(x₀,y₀) e B(x₁,y₁) tem uma equação que pode ser escrita na forma

Ou ainda, simplificando um pouco mais, na forma  y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0 . 

Reciprocamente, uma equação que pode ser escrita nesse último formato, y = ax + b (a ≠ 0), tem sempre uma reta como gráfico. Isto é, o conjunto formado por todos os pontos (pares ordenados) do tipo (x, ax + b) com é uma reta. Explore o applet abaixo e verifique! Tente observar também a relação entre os coeficientes a e b e a disposição da reta no plano cartesiano. Anote todas as suas conclusões!

No vídeo abaixo você pode encontrar uma síntese de toda a discussão feita acima. Após assistir ao vídeo clique aqui para saber mais sobre retas.