A invenção dos logaritmos data do início do século XVII e é atribuída
a John Napier (1550 - 1617). Originalmente foi criado como um eficiente mecanismo de simplificação de
cálculo. Na ausência de calculadoras digitais, as tábuas de logaritmos ajudavam
na realização de operações matemáticas. Hoje, com a facilidade de acesso às
calculadoras a tábua de logaritmos tornou-se obsoleta. Porém, suas propriedades de simplificação ainda continuam sendo muito úteis, por exemplo, no uso da escala logarítmica.
A ideia original era de estabelecer uma
correspondência entre números muito grandes e números pequenos de tal modo que uma operação que deveria ser realizada com os números astronômicos pudesse ser realizada com os seus correspondentes, números pequenos. Assim, o resultado da operação original é o correspondente ao resultado da operação com os pequenos números. É claro que esta correspondência deve ser eficaz para simplificar os cálculos, por esta razão a forma pensada envolveu potências. Vejamos como ela foi estabelecida.
O número 10 seria correspondente
do 1, o número 100 = 102 corresponderia ao 2, o número 1000 = 103
estaria associado ao número 3 e assim sucessivamente, como mostrado na Tabela
1.
Tabela 1
Estabelecendo uma
correspondência desta natureza a multiplicação de dois
elementos da primeira coluna poderia ser facilmente realizado olhando para os correspondes da segunda coluna. Por exemplo, multiplicar o elemento da segunda linha com o da quarta linha é uma tarefa fácil quando recorremos aos conhecimentos de potências. Isto é,
102 x 104 = 106 ,
ou, escrito de outra forma,
100 x 10 000 = 1 000 000.
Observe o que ocorre com os correspondentes da segunda coluna: 102 corresponde ao 2, 104 corresponde ao 4 e 106 corresponde ao 6 = 2 + 4. Resumindo, para realizar o produto de
dois elementos da primeira coluna, basta localizar os correspondentes da
segunda coluna, soma-los e identificar o elemento da primeira coluna que
corresponde a soma obtida, este é o resultado do produto procurado. Cada número
da segunda coluna é chamado de logaritmo, na base dez, de seu correspondente na
primeira coluna. A notação utilizada é a seguinte, tomando como exemplo a
segunda linha,
log 10 (100) = 2 (Lê-se: logaritmo de cem na base dez é igual
a 2)
De modo geral, se os números a e y satisfazem
a = 10y
dizemos que y é o logaritmo de a na
base 10,
log 10 a = y
(É comum suprimir a base 10 dos logaritmos e denota-los apenas por log a.)
A multiplicação feita acima foi realizada chamando atenção para a Tabela 1 apenas para ilustrar o conceito de logaritmos, mas o mesmo produto pode ser realizado diretamente com as propriedades de potências. Para que
realmente fizesse sentido realizar um produto utilizando uma tabela de
logaritmos, deveríamos ter uma tabela bem mais completa. Veja dois exemplos na animação abaixo.
De modo geral, a correspondência com potências de
10 utilizadas na Tabela 1 poderia ser substituída por qualquer outro número.
Por exemplo, poderíamos utilizar potências de um número b qualquer e construir
a Tabela 2.
Tabela 2
log b (b5) = 5 .
De modo mais amplo, se os números a,
b e y satisfazem a = by dizemos que y é o logaritmo de a na base b,
log b a = y.
Faça alguns testes no applet abaixo e
assegure que tenha compreendido a definição de logaritmos.
Agora, vejamos de forma geral a propriedade de reduzir multiplicação em soma. Como já vimos em casos específicos,
agora fica fácil ver que se
log b a = y e log b
c = x,
então
a
. c = by . bx = by+x.
Isto
é,
log b (a . c) = y + x = log
b a + log b c.
Pra finalizar a discussão sobre logaritmos vamos observar o que acontece com o logaritmo de uma potência. Sejam log b a = y e d é um
número real qualquer. Então,
a = by e, por
consequência, ad = (by)d = bd.y.
Logo,
log
b (ad) = d.y = d. log b a.
Estas são as duas propriedades utilizadas em alometria e curva espécie-área na construção da escala logarítmica.
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