Curva espécie-área

"Em ecologia, a curva espécie-área é um gráfico que mostra o número de espécies encontradas numa área definida de um determinado habitat ou de habitats de diferentes áreas". Segundo o texto do link acima, a função potência (poder) é, muitas vezes, apropriada para estudar a relação entre a abundância de espécies e a área de uma determinada região. Isto é, a função
  
S = cA^z,

 em geral, expressa aproximadamente o número de espécies (S) existente em uma determinada área (A). Na expressão acima os parâmetros (constantes) c e z dizem respeito ao contexto específico. Por exemplo, o artigo "Alometrias em toda parte", oferece dados suficientes para concluirmos que, nas ilhas caribenhas, em um determinado período, o número de espécies de répteis (S) aumenta com o tamanho da área amostrada (A) segundo a seguinte tabela.
    
Sendo assim, a função potência S = 2 A0.3 nos fornece um bom modelo para estudar a relação descrita na tabela acima. Neste contexto específico, c = 2 e z = 0.3.      
Veja abaixo outro exemplo, ainda inspirado no artigo "Alometrias em toda parte".
    1. Em uma atividade de campo em uma determinada região verificou-se, utilizando-se o método de censo em que a área aumenta sucessivamente, como ilustrado na Figura 1 (extraída do último artigo citado), o número de espécies de plantas está em função da área por meio da relação descrita na Tabela 1.



Com o auxílio do applet abaixo tente encontrar os valores das constantes c e z que ajustam a função S = c Az aos dados da Tabela 1. (Para marcar um ponto, basta digitar no campo de "Entrada", o par ordenado que o representa. Por exemplo, para representar graficamente a relação 17 espécies de plantas em 10 metros quadrados, digite (10,17). Para variações mais sutis do controle deslizante utilize as setas do teclado, → e ←.) Tente descrever como as constantes c e z modificam o gráfico.   

        2. Retornando ao exemplo inicial sobre o número de espécies de répteis, utilize o applet acima e tente encontrar a função espécie-área que se ajusta aos dados apresentados, Tabela 2. 



Tabela 2

Sabendo que a ilha tem uma extensão máxima de aproximadamente 120 km2 qual o número esperado de espécies de répteis em toda sua extensão? 
Após explorar os dois exemplos anteriores analise a veracidade da frase "a relação espécie-área é quase sempre desacelerativa (tem uma segunda derivada negativa)..." Justifique! 
Os artigos do Wikipédia são construídos de forma colaborativa. Isto é, qualquer leitor pode acrescentar informações a qualquer artigo. Você acrescentaria algo no artigo "Curva espécie-área"? O que?
Nos exemplos foram utilizados o recurso visual oferecido pelo Geogebra para fornecer uma estimativa para os valores de c e z. Um modo mais sistemático para realizar a mesma tarefa, encontrar c e z, é recorrer a escala logarítmica. Para isso, será necessário compreender um pouco sobre logaritmos. Caso sinta a necessidade de uma revisão sobre este assunto clique aqui antes de continuar.  
Com os logaritmos podemos transformar a relação funcional 
S = c Az           (i) 
em outra potencialmente mais simples, 
log(S) = log(c) + z log(A)         (ii)
A relação funcional (i) nos mostra a quantidade de espécies (S) em função da área (A), para determinadas constantes c e z. Enquanto a relação funcional (ii) nos mostra o logaritmo do número de espécies (log(S)), variável dependente, em função do logaritmo da área (log(A)), variável independente. Para colocar a equação (ii) em um formato mais conhecido faremos as seguintes substituições
log(S) = y, log(c) = b e log(A) = x.
Deste modo, reescrevemos (ii) como segue 
y = b + z x, onde b e z são constantes.    (iii)
A última equação é chamada de equação linear e tem como gráfico uma reta. Isto é, trocando (i) por (iii) a busca por uma curva que se ajusta aos dados brutos de A e S, como os da tabela 2, se transforma na busca por uma reta que se ajusta aos dados após se obter o logaritmo de cada valor bruto. Vejamos o segundo exemplo.

Antes de tudo será necessário construir uma nova tabela, Tabela 3, que em vez de relacionar S e A relacione log (S) e log (A). Isto pode ser facilmente obtido por meio da Tabela 2 com o auxílio de uma calculadora, disponível em Calculadoras, que permita o cálculo de logaritmos. Vale lembrar que a expressão log se refere ao logaritmo na base 10.



Tabela 3
Marcando os pontos (x,y) da tabela acima no Geogebra temos o seguinte, Figura 1.



Figura 1

Como foi dito anteriormente, agora nos resta encontrar uma reta que melhor se ajusta os pontos da Figura 1. Isto também pode ser facilmente obtido com o Geogebra. O método utilizado pelo software para obter a reta desejada é chamado de regressão linear e geralmente está presente em todo curso de estatística. Foge ao escopo deste curso tratar deste assunto, mas vamos nos valer da reta obtida com o Geogebra. Para obter a reta desejada basta selecionar todos os pontos, o que pode ser feito com a seta de seleção clicando e arrastando a mesma para obter um retângulo de seleção que englobe todos os pontos, Passo 1 da Figura 2. Em seguida, com todos os pontos selecionados, basta abrir as opções da quarta caixa de menu e escolher a opção "Reta de Regressão Linear", como mostrado no Passo 2 da Figura 2.  



Figura 2


Fazendo isso, imediatamente será exibida a reta obtida pela regressão linear e na "Janela de Álgebra" será exibida sua equação. Caso a equação não esteja no formato y = ax + b, clique sobre a equação com o botão direito do mouse e escolha esta opção. Para o exemplo em questão será mostrada a equação 
y = 0.33x + 0.24.     
Finalmente, comparando a equação (iii) com a última equação obtida temos z = 0.33 e log (c) = 0.24. Deste modo podemos encontrar c resolvendo a equação
log (c) = 0.24. 
Isto é,
c = 10 0.24 = 1.74.
Portanto, a função procurada é S = 1.74 A0.33 . Compare os valores de c e z com aqueles obtidos anteriormente com o applet. Foram os mesmos? Qual método ofereceu melhor resultado? 
Quando marcamos no plano cartesiano a relação entre o logaritmo de uma grandeza em função do logaritmo de outra grandeza, como no exemplo acima, Figura 1, dizemos que estamos usando a escala logarítmica (eixos log - log). É mais comum nas ciências biológicas do que na própria matemática o uso deste tipo de escala, geralmente com propósitos similares aos discutidos acima. 
No artigo "Alometrias em todo lugar" pode ser visto uma figura, reproduzida abaixo (Figura 3), com vários gráficos que mostram o uso da escala logarítmica em curvas espécie - área.



A função potência que aparece no caso da curva espécie-área também é útil nos estudos relacionados a "Alometria". 


Comente com o Facebook:

Assinar: Postagens (Atom)